Układ współrzędnych bez tajemnic – definicja, przykłady zastosowania, zadania z rozwiązaniami

Układ współrzędnych to pojęcie, z którym po raz pierwszy zetkniesz się w 6 klasie szkoły podstawowej, chociaż możliwe, że korzystałeś z niego już dużo wcześniej – na przykład rezerwując miejsce w kinie wraz z rodziną lub przyjaciółmi. Sprawdź, co warto wiedzieć o układzie współrzędnych i przetestuj swoją wiedzę, rozwiązując kilka zadań od MATMY NA LUZIE.

Czym jest układ współrzędnych?

Układ współrzędnych wydaje Ci się czymś abstrakcyjnym i zupełnie oderwanym od rzeczywistości? Niesłusznie! Układ współrzędnych jest podstawą wszystkiego, co Cię otacza. Przy jego pomocy możesz określić położenie jakiegokolwiek przedmiotu lub lokalizację dowolnego miejsca.

W nauce – matematyce, fizyce i astronomii, geografii – wyróżnia się wiele układów współrzędnych, m.in. układ współrzędnych biegunowych, sferycznych, horyzontalnych, równikowych czy geodezyjnych. W szkole będziesz mieć do czynienia przede wszystkim z prostokątnym układem współrzędnych (inaczej: układem współrzędnych kartezjańskich), który składa się z dwóch, prostopadłych względem siebie osi:
  • oś X – pozioma oś w układzie współrzędnych, określana również jako oś odciętych,
  • oś Y – pionowa oś w układzie współrzędnych, określana również jako oś rzędnych.
Układ współrzędnych

Układ współrzędnych ma cztery ćwiartki. Ich numeracja jest zawsze taka sama.

Punkt, w którym przecinają się osie X i Y, nazywany jest początkiem układu współrzędnych i zwykle zapisuje się go jako O = (0,0).

Ciekawostka

Nazwa układu współrzędnych kartezjańskich pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa – René Descartes, czyli Kartezjusza. W 1637 roku słynny uczony opublikował swoją teorię w traktacie La Géometrié. Co ciekawe, nie był on pierwszym matematykiem, który wpadł na pomysł wykorzystania prostokątnego układu współrzędnych – w podobnym okresie opracował go również Pierre de Fermat, co stało się przyczyną konfliktu pomiędzy uczonymi. Całe szczęście, panowie szybko doszli do porozumienia, podali sobie dłonie i wzajemnie pogratulowali sobie zasług, jakie wnieśli do nauki. Bo po się kłócić, kiedy można zajmować się matmą?

Punkty w układzie współrzędnych

Punkt, który zaznaczysz w dowolnym miejscu układu, zawsze będzie miał dwie współrzędne – iksową (odciętą) i igrekową (rzędną). Dzięki nim możliwe jest określenie położenia punktu względem każdej z osi układu.

Współrzędne punktu przedstawiane są jako para liczb, np. (2,5). Pierwszą z nich odczytuje się z osi X, a drugą z osi Y.

Przykład

Chcesz dojść do wyznaczonego puntu, startując z początku układu współrzędnych (pozycja 0,0). Zastanów się:

  • Ile kroków musisz wykonać wzdłuż osi X?
  • Ile kroków musisz wykonać wzdłuż osi Y?

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Co się stanie, kiedy połączysz dwa dowolne punkty w układzie współrzędnych? Uzyskasz odcinek, którego długość równa jest odległości pomiędzy wyznaczonymi punktami.

Ustalenie długości odcinka może być łatwe lub… nieco trudniejsze. W przypadku, gdy odcinek położony jest równolegle względem osi X lub Y, wystarczy po prostu odczytać jego długość. Jeżeli odcinek nie jest równoległy do żadnej z osi, do obliczenia jego długości niezbędne będzie Ci twierdzenie Pitagorasa – tak jak w poniższym przykładzie:

Układ współrzędnych – środek odcinka

Punktem w układzie współrzędnych jest również środek odcinka. Jak możesz określić jego współrzędne? Wystarczy, że obliczysz średnią arytmetyczną dla współrzędnych punktów końcowych odcinka – wynik będzie odpowiadał jego punktowi środkowemu (środkowi odcinka).

Zobacz to na przykładzie:

Układ współrzędnych – zadania

Chcesz sprawdzić swoją wiedzę o układzie współrzędnych w praktyce? Rozwiąż zadania, które przygotowaliśmy specjalnie dla Ciebie!

Zadanie 1.
Odczytaj współrzędne punktów A, B, C, D, E, które zostały zaznaczone na poniższym układzie współrzędnych:

Zadanie 2.
W układzie współrzędnych zaznaczono dwa punkty:
A (o  współrzędnych -5, -3)  i B (o   współrzędnych 3,3).  Wykonaj następujące działania:

  • Oblicz długość odcinka AB w układzie współrzędnych.
  • Wyznacz środek odcinka AB w układzie współrzędnych.

Zadanie 3.
Poniższa mapa przedstawia rzekę. Oblicz, jaką długość ma zaznaczony fragment rzeki, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Układ współrzędnych – zastosowanie w codziennym życiu

Wbrew pozorom, zastosowanie układu współrzędnych nie ogranicza się do szkolnego zeszytu i podręcznika. Z określaniem punktu w układzie współrzędnych spotkasz się, rezerwując miejsce na koncercie, w kinie, teatrze czy w samolocie – miejsca zwykle określa się tam dwoma znakami (dwiema liczbami lub literą i liczbą).

Układ współrzędnych towarzyszy Ci również wtedy, gdy korzystasz z mapy lub nawigacji GPS, w których położenie dowolnego punktu określa się przy pomocy dwóch współrzędnych – szerokości i długości geograficznej.

Co ciekawe, z układu współrzędnych kartezjańskich korzysta również Twój smartfon i inne urządzenia z dotykowymi ekranami (np. tablet czy niektóre rodzaje laptopów). Przy pomocy osi współrzędnych śledzą one ruch Twojego palca, aby w oczekiwany sposób odpowiadać na działania, które wykonujesz – na przykład wtedy, gdy korzystasz z apki Matma na Luzie. 

Zobacz także: