Twierdzenie Pitagorasa – definicja, przykłady, zadania i kilka ciekawostek

Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najważniejszych twierdzeń, z jakimi zetkniesz się na lekcjach matematyki. Przy jego pomocy obliczysz długość jednego z boków trójkąta prostokątnego – oczywiście o ile znasz długość pozostałych dwóch. Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa? Kto był jego prawdziwym autorem? Sprawdzamy!

Twierdzenie Pitagorasa – historia i kontrowersje

Pytanie kto jest autorem twierdzenia Pitagorasa? Może wydawać się absurdalne, jednak… jest w pełni uzasadnione.

Kultura zachodnioeuropejska powiązała twierdzenie a2+b2=c2 z greckim matematykiem i filozofem, żyjącym w VI w p.n.e. – Pitagorasem. Historycy udowadniają, że niesłusznie! Za najbardziej prawdopodobne miejsce powstania twierdzenia uznaje się Babilonię (starożytne państwo Mezopotamii, położone na terenie współczesnego Iraku). Tamtejsi matematycy mieli opracować kilka metod, które pozwalały obliczyć długość trzeciego boku trójkąta prostokątnego – w tym co najmniej dwie znacznie prostsze od twierdzenia Pitagorasa, ale są mniej dokładne.

Co ciekawe, twierdzeniem a2+b2=c2 prawdopodobnie posługiwano się również w starożytnym Egipcie, Chinach i Indiach. Na długo przed narodzinami Pitagorasa. ☺

Warto wiedzieć

Pomimo tego, że Pitagoras nie jest autorem twierdzenia Pitagorasa, matematyka zawdzięcza mu naprawdę wiele! Do osiągnięć filozofa oraz jego szkoły należy m.in.:
  • dowód twierdzenia Pitagorasa,
  • stworzenie pierwszej klasyfikacji liczb (obejmującej m.in. liczby parzyste i nieparzyste, pierwsze, doskonałe, będące kwadratami),
  • udowodnienie, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni,
  • wprowadzenie pojęcia średniej arytmetycznej,
  • opracowanie konstrukcji wielościanów foremnych,
  • odkrycie dwunastościanu foremnego.

Twierdzenie Pitagorasa – wzór

Twierdzenie Pitagorasa stosuje się tylko i wyłącznie w odniesieniu do trójkątów prostokątnych. Zgodnie z jego założeniami, w każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Wzór twierdzenia wygląda następująco:

Twierdzenie Pitagorasa – wzór

Z czego:

  • a i b to długości przyprostokątnych, czyli boków trójkąta, które leżą bezpośrednio przy kącie prostym;
  • c to długość przeciwprostokątnej, czyli boku trójkąta, który położony jest naprzeciwko kąta prostego.
Trójkąt prostokątny
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeżeli na bokach trójkąta kwadratowego zbudujemy kwadraty (spójrz na poniższy rysunek), to suma pól kwadratów znajdujących się na przyprostokątnych (a i b) będzie równa polu kwadratu, który znajduje się na przeciwprostokątnej.
Kwadraty na bokach trójkąta prostokątnego

Dowody twierdzenia Pitagorasa

Każde matematyczne twierdzenie potrzebuje solidnych dowodów. Nie inaczej było w przypadku twierdzenia Pitagorasa! Na przestrzeni wieków opublikowano wiele ponad 100 dowodów na poprawność twierdzenia – pierwszy z nich został prawdopodobnie opracowany przez Pitagorasa (lub jednego z jego uczniów). Niektórzy matematycy twierdzą, że kolejne dowody można opracowywać nieustannie, ponieważ jest ich nieskończenie wiele.

Poniżej prezentujemy jeden z najpopularniejszych dowodów twierdzenia Pitagorasa.

Na każdym z boków trójkąta zbudowano kwadraty, a następnie podzielono je na mniejsze kwadraciki o identycznych wymiarach. Z
wróć uwagę, że kwadraciki z przyprostokątnych odpowiadają sumie kwadracików, jakie znalazły się na przeciwprostokątnej.
Teraz chyba już nie masz wątpliwości, że twierdzenie Pitagorasa jest zgodne z prawdą? ☺

Twierdzenie Pitagorasa – ciakawostki

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa stworzono definicję trójkąta pitogarejskiego:

Trójkąt pitagorejski to trójkąt o bokach wyrażonych liczbami naturalnymi a, b, c, spełniającymi warunek a2+b2=c2.

Jak łatwo się domyślić, trójkątem pitagorejskim jest trójkąt prostokątny. ☺

Aby odnaleźć trójkąty pitagorejskie, można posłużyć się wzorem stworzonym przez Pitagorasa:
a=2n+1
b=2n(n+1)
c=2n2+2n+1

Szczególnym rodzajem trójkąta pitogarejskiego jest trójkąt egipski – jest to jedyny trójkąt, który spełnia warunek a2+b2=c2, a przy tym posiada boki o długościach odpowiadających kolejnym liczbom naturalnym: 3, 4 i 5. W starożytnym Egipcie wykorzystywano go do wyznaczania kątów prostych, np. wyznaczaniu granic ziem, które regularnie zacierane były przez wodę z Nilu.

Twierdzenie Pitagorasa – zastosowanie

Twierdzenie Pitagorasa wykorzystuje się do:
  • Obliczenia długości trzeciego boku trójkąta prostokątnego – w sytuacji, gdy znane są długości dwóch boków. Wystarczy, że skorzystasz ze wzoru a2+b2=c2.
  • Sprawdzenia, czy trójkąt jest prostokątny. W sytuacji, gdy znane są długości wszystkich boków, wystarczy, że wstawisz je do wzoru i potwierdzisz ich zależność.

Twierdzenie Pitagorasa – przykłady

Przykład 1. Oblicz długość przeciwprostokątnej w trójkącie:
Przykład 2. Oblicz długość przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym:
Przykład 3. Sprawdź, czy ten trójkąt jest prostokątny:

Sprawdzian z twierdzenia Pitagorasa

Czeka Cię klasówka lub kartkówka z twierdzenia Pitagorasa? Przetestuj swoje umiejętności, rozwiązując zadania, które dla Ciebie przygotowaliśmy.

Zadanie 1. Oblicz długość boku oznaczonego jako x:

Zadanie 2. Sprawdź, czy poniższy trójkąt jest prostokątny:
Zadanie 3. Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 12 i 16 cm.
Zadanie 4. Oblicz pole i obwód poniższego trapezu:

Zadanie 5.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o bokach długości:

  • 7,5 cm
  • 7,5 cm
  • 9 cm

Zadanie 6.
Oblicz długość odcinka AB w układzie współrzędnych.

Współrzędne punktów to:

  • A (5,8)
  • B (2,4)

Zobacz także:

Twierdzenie Pitagorasa – odpowiedzi do zadań